পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র- ২য় অধ্যায়ঃ ভেক্টর
সকল প্রয়োজনীয় সুত্রসমূহ
ভেক্টর একটি রাশি যার মান ও দিক উভয়ই আছে এবং এটি জ্যামিতিক উপায় এবং অবস্থানের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়।
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধিঃ
ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মান ও দিক দ্বারা একইক্রমে সূচিত করা হলে, তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে এদের লব্ধির (যোগফলের) মান ও দিক নির্দেশ করে, অর্থাৎ,
\[
\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{C}
\]
সরণ ভেক্টরঃ
যদি একটি বস্তুকণা \(P\) বিন্দু হতে \(Q\) বিন্দুতে যায়, তবে বিন্দুদ্বয় এর সংযোজক রেখাই এদের সরণ ভেক্টর নির্দেশ করে।
ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,
\[
\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}
\]
সরণ ভেক্টর,
\[
\overrightarrow{S} = \overrightarrow{OQ} – \overrightarrow{OP}
\]
আয়ত একক ভেক্টরঃ
ত্রিমাত্রিক দিকবিন্যাস অনুযায়ী X-Axis, Y-Axis, Z-Axis এর দিকে ভেক্টরসমূহের অবস্থান প্রকাশ করতে এদের যথাক্রমে অক্ষ অনুযায়ী \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
আয়ত একক ভেক্টরের ক্ষেত্রে,
\( 7 \hat{i}, 2 \hat{j}, 4 \hat{k} \) এরা হলো 1D বা একমাত্রিক ভেক্টর।
\( 7 \hat{i} + 2 \hat{j} \) হলো 2D বা দ্বিমাত্রিক ভেক্টর।
\( 7 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} \) হলো 3D বা ত্রিমাত্রিক ভেক্টর।
ভেক্টর এর মান নির্ণয় করার ক্ষেত্রে, \( \overrightarrow{S} = x \hat{i} – y \hat{j} + z \hat{k} \) হলে, \( |\overrightarrow{S}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)
একক ভেক্টর, \( \hat{A} = \frac{\overrightarrow{A}}{|\overrightarrow{A}|} \)
দুটি সমজাতীয় ভেক্টরের মান ও দিক সমান হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ 0° হয়।
দুটি ভেক্টরের মান সমান, কিন্তু দিক বিপরীত হলে এদের বিপরীত ভেক্টর বলে, এদের মধ্যবর্তী কোণ 180°।
অনেকগুলো ভেক্টর একই সরলরেখা বরাবর বা সমান্তরালে থাকলে এদের সমরেখ ভেক্টর বলে, এক্ষেত্রে এদের সমজাতীয় হওয়ার দরকার নেই।
দুই বা ততোধিক সমজাতীয় ভেক্টর যদি একই দিকে ক্রিয়া করে, এদের সদৃশ ভেক্টর বলে।
বিসদৃশ ভেক্টর পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে।
সমতলীয় ভেক্টরের ক্ষেত্রে অনেকগুলো ভেক্টর একই তলে অবস্থিত থাকে।
একইদিকে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর এর মান যদি একটি অপরটির বিপ্রতীপ হয়, তবে এদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।
যে ভেক্টরের মান শুন্য, তাকে শুন্য ভেক্টর বলে।
ভেক্টর স্থানান্তরের ক্ষেত্রে মান ও দিক একই থাকতে হবে, কেবল নিজ অক্ষ বরাবর ও সমান্তরালে স্থানান্তর ঘটানো যায়।
দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, \( \overrightarrow{A} \) এবং \( \overrightarrow{B} \) ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) হলে,
\[
\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}|} \right)
\]
[Note: এক্ষেত্রে পাদবিন্দুদয় অথবা শীর্ষবিন্দুদ্বয় মিলিত হলেই সেটা ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ বলে বিবেচিত হবে]
ভেক্টর যোগের সামান্তরিক বিধিঃ
কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত দুটি বাহু দ্বারা যদি দুটি ভেক্টর নির্দেশ করা হয়, তবে বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দু / যে কৌণিক বিন্দুতে বাহুদ্বয় সন্নিহিত আছে তার বিপরীত কৌণিক বিন্দুর যোগফলই ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে।
[কোনো সামান্তরিকের কৌণিক বিন্দু হতে তার বিপরীত কৌণিক বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাই তার কর্ণ নির্দেশ করে]
এক্ষেত্রে, \( \overrightarrow{A} \) এবং \( \overrightarrow{B} \) দুটি ভেক্টর হলে এবং এদের ভেক্টর \( \overrightarrow{R} \) হলে, \( \theta \) হলো \( \overrightarrow{A} \) এর সাথে লব্ধির কোণ।
\[
\tan \theta = \frac{B \sin \alpha}{A + B \cos \alpha} \quad \text{(Direction of the vector)} \quad R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \alpha} \quad \text{(Absolute Value of the Vector)}
\]
দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে মান সর্বোচ্চ হবে, যখন- \( \alpha = 0^\circ \) [\( |\overrightarrow{A}| + |\overrightarrow{B}| \)]
লব্ধির মান সর্বনিম্ন হবে, যখন- \( \alpha = 180^\circ \) [\( |\overrightarrow{A}| – |\overrightarrow{B}| \)] ; যেখানে \( |\overrightarrow{A}| > |\overrightarrow{B}| \)
ত্রিভুজের কোসাইন সুত্রঃ
\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \quad \cos B = \frac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca} \quad \cos C = \frac{b^2 + a^2 – c^2}{2ab}
\]
ত্রিভুজের সাইন সুত্রঃ
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]